La publicación anterior observó qué exponente hace que el área de un squircle esté a medio camino entre el área de un cuadrado y un círculo del mismo radio. Podríamos hacer la pregunta análoga en tres dimensiones, o en cualquier dimensión.
(¿Cómo se llama una forma entre un cubo y una esfera? ¿Un cuere? ¿Un sphube?)
En la terminología matemática más convencional, los squircles de dimensiones superiores son bolas bajo las normas L p . La bola de la unidad en n dimensiones bajo L p norma tiene volumen
Estamos pidiendo una solución p por lo que el volumen de una p -norm ball está a medio camino entre el de la pelota de 2 normas y la de una norma ball. Podemos calcular esto con el siguiente código de Mathematica.
v [p_, n_]: = 2 ^ n Gamma [1 + 1/p] ^ n / Gamma [1 + n/p]
Tabla [
FindRoot[
v[p, n] - (2 ^ n + v [2, n]) / 2,
{p, 3}
]
{n, 2, 10}
]
Esto muestra que el valor de p aumenta constantemente con la dimensión:
3.16204
3,43184
3.81881
4.33311
4.96873
5.70408
6.51057
7.36177
8.23809
Vimos el valor 3.16204 en el post anterior. El resultado para tres dimensiones es 3.43184, etc. La imagen de arriba usa la solución para n = 3, por lo que tiene un volumen a medio camino entre la esfera y el cubo.
Para mantener el el volumen total a mitad de camino entre el cubo y la esfera, p tiene que aumentar con la dimensión, haciendo que cada sección bidimensional sea cada vez más como un cuadrado.
Aquí está el código de Mathematica para dibujar la cuere /sphube.[19659018◆p = 3.43184
ContourPlot3D [
Abs[x] ^ p + Abs [y] ^ p + Abs [z] ^ p == 1,
{x, -1, 1},
{y, -1, 1},
{z, -1, 1}
]
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