Colin Wright publicó un tweet ayer que decía que las gráficas de coseno y tangente son ortogonales. Aquí hay un gráfico para que pueda verlo por sí mismo.
Jim Simons respondió con una prueba tan breve que cabe en un tweet : El producto de los derivados es -sin ( x ) sec² ( x ) = -tan ( x ) / cos ( x ), que es -1 si cos ( x ) = tan ( x ).
Esto me hizo preguntarme si el seno y el coseno son ortogonales en el sentido de los gráficos que se intersecan en ángulos rectos. Son ortogonales en el sentido de que su producto se integra a cero en el intervalo [0, 2π] es cero, un hecho que es un hecho importante en el análisis de Fourier, pero ¿son ortogonales en el sentido de que sus gráficos se intersecan en ángulos rectos? Un gráfico hace que este aspecto parezca plausible:
Pero el gráfico es engañoso. Hice la trama sin especificar la relación de aspecto, utilizando el valor predeterminado en Mathematica. Esto hace que el ángulo entre los gráficos se vea más pequeño. Al establecer la relación de aspecto en 1 se muestra la imagen real. Las dos curvas se intersecan en π / 4 y 5π / 4, y se intersecan en un ángulo de 2π / 3, no π / 2.
Por lo tanto, las gráficas de seno y coseno no se intersecan en ángulos rectos, pero siempre se intersectan en un ángulo constante de lo que significa que puede escalarlos de manera que se crucen en ángulos rectos. Dicho de otra manera, puede hacer que las curvas sean perpendiculares ajustando la relación de aspecto.
¿Puede hacer esto para otras funciones que son ortogonales en el sentido interno del producto? No es fácil. Por ejemplo, sin (2 x ) y sin (3 x ) son ortogonales en el sentido del producto interno (integral), pero los ángulos de intersección son diferentes en diferentes lugares donde las curvas
¿Qué pasa con otras funciones que son como el seno y el coseno? Miré las funciones de Bessel J 1 y J 2 pero los ángulos en las intersecciones varían. Lo mismo ocurre con los polinomios de Chebyshev. Supongo que la diferencia es que el seno y el coseno son traducciones de unos a otros, mientras que ese no es el caso de las funciones de Bessel o Chebyshev. Pero es cierto para las wavelets, por lo que puedes encontrar wavelets que son ortogonales en el sentido de productos internos y en el de gráficos perpendiculares.
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